Общегородской семинар им. А.М. Ильина по дифференциальным уравнениям математической физики
Thursday, 29 May, 2025 - 12:00
Название доклада: Особенности решений одномерных уравнений газовой динамики и нелинейной геометрической оптики
Докладчик: Шавлуков Азамат Мавлетович
(ИМВЦ УФИЦ РАН)
Институт математики, конференц-зал (к. 24)
Обсуждение кандидатской диссертации.
Решения системы одномерных уравнений изоэнтропической газовой динамики (ГД) и решения системы одномерных уравнений нелинейной геометрической оптики (НГО) в окрестности точки типичной градиентной катастрофы (ГК) - конечной точки, в которой обращается в бесконечность как минимум одна из первых производных решений при том, что в этой точке решения конечны - выражаются в терминах корней канонических уравнений теории особенностей дифференцируемых отображений.
Для этого вводится в рассмотрение локально гладкая (аналитическая) функция, зависящая от скорости и плотности (соответственно интенсивности) как от основных переменных, а также от времени и пространственной координаты как от параметров. Эта функция посредством конечного числа гладких (соответственно аналитических) преобразований локально сводится к канонической нормальной форме. Её критические точки локально задают решения исходной системы в окрестности точки ГК.
Описаны особенности складки, сборки и сечения гиперболической омбилики решений системы уравнений ГД, включая ранее неизученные частные случаи, нарушающие определенные условия сильной нелинейности и даже более сильное.
Описана провальная (при стремлении плотности к нулю) особенность сборки решений в случае обеих систем, а также особенность сечения эллиптической омбилики решений системы уравнений НГО.
Обсуждается наследование особенностей решений нелинейных уравнений ГД и НГО от их линеаризации - соответственно, волнового уравнения и уравнения Лапласа.