Ильясов Явдат Шавкатович

Мои исследования находятся на стыке нелинейного анализа, спектральной теории, вариационных методов, обратных задач и вычислительной математики. Их объединяет центральная проблема: непосредственное выявление и количественное описание критических режимов в параметризованных нелинейных уравнениях — бифуркаций, потери разрешимости, изменения устойчивости, резонансных и спектральных переходов.

В нелинейных математических моделях сингулярная точка — это не просто исключительное значение параметра, при котором нарушается регулярность решения. Она служит границей между качественно различными режимами системы: устойчивостью и коллапсом, существованием и исчезновением решений, плавной эволюцией и резким переходом к новому состоянию. Критические параметры определяют структуру пространства решений и одновременно характеризуют допустимые пределы функционирования реальных систем. Эта проблематика возникает в теории дифференциальных уравнений, физике плазмы, квантовой механике, химической кинетике, биологических моделях и теории устойчивости энергосистем. Таким образом, исследование сингулярностей является не частной задачей для отдельного класса уравнений, а частью общей программы описания критических явлений в нелинейных системах.

Несмотря на значительное развитие локальной и глобальной теории бифуркаций, универсального подхода к прямому определению сингулярных значений пока не существует. Классические методы продолжения, как правило, требуют предварительного знания точки или ветви решений и прослеживают её до момента потери регулярности. В невариационных и несамосопряжённых задачах положение ещё сложнее: стандартные энергетические функционалы отсутствуют, а спектральные характеристики линеаризованного оператора не всегда дают прямую формулу для критического параметра. Это ставит более общую задачу — найти спектральный и экстремальный язык, позволяющий характеризовать сингулярности непосредственно, без предварительного построения всей ветви решений.

Центральное место в моих исследованиях занимает перенос классических принципов спектральной теории — отношений Рэлея, минимаксных формул Куранта–Фишера (Courant–Fischer) и принципа Коллатца–Виландта — на нелинейные, невариационные и несамосопряжённые задачи. В рамках этого направления я развиваю взаимосвязанные методы: нелинейные и расширенные отношения Рэлея, минимаксные функционалы и обратные оптимизационные спектральные задачи. Их общая идея состоит в замене косвенного отслеживания ветви решений прямой экстремальной характеристикой искомого критического значения.

Стратегическая цель этой исследовательской программы — построение минимаксной теории для широкого класса нелинейных уравнений, включая невариационные и несамосопряжённые, которая непосредственно определяет первую или максимальную сингулярную точку ветви решений. Такая теория должна устанавливать бифуркационную природу сингулярности, давать устойчивые апостериорные и численные оценки критического параметра, а также объединять в единой конструкции существование решения, его спектральную характеристику и возможность эффективного вычисления этого параметра.

Разработанный математический аппарат был применён к широкому кругу задач, включая эллиптические и квазилинейные уравнения, системы с \(p\)-лапласианом, задачи с нелипшицевыми нелинейностями, невариационные модели, обратные спектральные задачи и вопросы устойчивости основных состояний. Полученные методы имеют особое значение для пороговых задач — таких как электростатическая потеря устойчивости (pull-in instability), коллапс напряжения (voltage collapse) и критические переходы (tipping phenomena) — где требуется не только обнаружить потерю разрешимости или устойчивости, но и оценить близость текущего состояния к критической границе.

В настоящее время мои исследования сосредоточены на развитии минимаксной теории бифуркаций и теории обратных оптимальных спектральных задач. Ключевые направления работы включают:

• построение и обоснование новых минимаксных формул;
• анализ сходимости галёркинских аппроксимаций;
• получение апостериорных оценок и исследование чувствительности критических параметров к возмущениям;
• разработку устойчивых качественных и численных критериев обнаружения седло-узловых и родственных им сингулярностей.

Более широкая цель этой деятельности — формирование нелинейной спектральной теории, которая наследует наиболее конструктивные черты классической линейной теории, но при этом применима к существенно более широкому классу прямых и обратных задач.

Образование и научная карьера

• 1976–1984: Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, кафедра дифференциальных уравнений.
• 1985–1997: ассистент, затем доцент Башкирского государственного университета, Уфа, Россия.
• 1989: кандидат физико-математических наук. Тема диссертации: «Асимптотическое поведение решений нелинейных параболических уравнений с малым параметром при белом шуме».
• 1997–1999: докторант Математического института имени В.А. Стеклова РАН, Москва.
• 2000: доктор физико-математических наук. Тема диссертации: «Нелокальный анализ бифуркаций решений нелинейных эллиптических уравнений».
• 2000–2007: профессор математики, Башкирский государственный университет, Уфа.
• 2002–2003: приглашённый профессор, University of La Rochelle, Ла-Рошель, Франция. Годичная академическая позиция, включавшая научную и преподавательскую работу.
• С 2008 года: главный научный сотрудник Института математики Уфимского федерального исследовательского центра РАН.
• 2018–2022: приглашённый профессор, Institute of Mathematics and Statistics, Universidade Federal de Goiás, Гояния, Бразилия. Четырёхлетняя научная и преподавательская работа в рамках международного академического сотрудничества.
• Научное руководство аспирантами по нелинейным уравнениям, устойчивости решений, критическим множествам параметров и численным методам нахождения предельных точек нелинейных уравнений.

Избранные зарубежные научные визиты

Наряду с долгосрочной академической работой в Бразилии и Франции, проводил исследования и читал лекции в университетах и научных центрах Европы, Азии и США.

• 2025: приглашённый профессор, School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology, Цзыбо, Китай.
• 2024, 2018, 2015, 2014: приглашённый профессор, Complutense University of Madrid, Facultad de Ciencias Matemáticas, Мадрид, Испания.
• 2017–2019: приглашённый профессор, Department of Mathematics and NTIS, University of West Bohemia, Пльзень, Чехия.
• В разные годы — научные визиты в Friedrich Schiller University Jena, University Paul Sabatier Toulouse 3, University of Helsinki, University of Rostock, University of Catania, Los Alamos National Laboratory и Rensselaer Polytechnic Institute.

Гранты и научные проекты

• Грант Российского научного фонда, 2021–2024.
• Гранты Российского фонда фундаментальных исследований, 1995–2014.
• Гранты INTAS, 1998–2007; в ряде проектов — руководитель российской исследовательской группы.
• Гранты Deutsche Forschungsgemeinschaft, 1997–2006.
• Прикладные исследовательские проекты, связанные с устойчивостью энергосистем, обратными задачами для акустических волн и оптимизацией каталитических процессов.

Избранные приглашённые доклады

• 23–27 июня 2025 г.: конференция «Нелинейные уравнения в частных производных», приглашённый докладчик, Международный математический центр «Сириус», Сириус, Россия.
• 13–15 октября 2025 г.: Всероссийская конференция «Уравнения с частными производными и их приложения», приглашённый докладчик, Институт математики имени С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия.
• 17–20 февраля 2022 г.: XIV Summer Workshop in Mathematics MAT/UnB, приглашённый докладчик, University of Brasília, Бразилиа, Бразилия.
• 13–20 августа 2017 г.: The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations, приглашённый докладчик, Москва, Россия.
• 7–11 июля 2014 г.: The 10th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications, Special Session 44, Мадрид, Испания.
• 23–24 августа 2013 г.: International Conference “Nonlinear Analysis Plzeň 2013”, приглашённый докладчик, Пльзень, Чехия.
• 25–28 мая 2010 г.: The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications, приглашённый докладчик, Дрезден, Германия.
• 17–22 октября 2010 г.: Workshop on Variational Methods in Nonlinear Differential Equations, приглашённый докладчик, Оахака, Мексика.
• 4–9 июня 2005 г.: Second International Conference “Abstract and Applied Analysis 2005”, приглашённый докладчик, Куинён, Вьетнам.
• 28 июня – 4 июля 2001 г.: International Conference “Function Spaces, Differential Operators, and Nonlinear Analysis” (FSDONA-01), посвящённая 65-летию Ханса Трибеля, приглашённый докладчик, Тайстунген, Германия.

Избранные публикации

Полный список публикаций доступен на ORCID и Google Scholar. Индекс Хирша — 17; 1316 цитирований по данным Google Scholar на февраль 2026 года.

• Díaz, J.I., Hernández, J. and Ilyasov, Y. (2026). Non-negative and positive solutions for some indefinite sublinear elliptic problems. Boundary Value Problems 2026, 22. DOI: 10.1186/s13661-025-02200-w .
• Il'yasov, Y. and Valeev, N. (2025). On degenerate \((p,q)\)-Laplace equations corresponding to an inverse spectral problem. Bulletin of the London Mathematical Society 57, no. 1, 218–235.
• Il'yasov, Y. (2024). A finding of the maximal saddle-node bifurcation for systems of differential equations. Journal of Differential Equations 378, 610–625.
• Il'yasov, Y. and Valeev, N. (2024). An extension of the Perron–Frobenius theory to arbitrary matrices and cones. Electronic Journal of Linear Algebra 40, 788–802.
• Carles, R. and Il'yasov, Y. (2023). On ground states for the 2D Schrödinger equation with combined nonlinearities and harmonic potential. Studies in Applied Mathematics 150, no. 1, 92–118.
• Carvalho, M.L., Il'yasov, Y. and Santos, C.A. (2022). Existence of S-shaped type bifurcation curve with dual cusp catastrophe via variational methods. Journal of Differential Equations 334, 256–279. DOI: 10.1016/j.jde.2022.06.021 .
• Ilyasov, Y. and Valeev, N. (2021). Recovery of the nearest potential field from the \(m\) observed eigenvalues. Physica D: Nonlinear Phenomena 426, 132985.
• Ilyasov, Y. and Silva, K. (2018). On branches of positive solutions for \(p\)-Laplacian problems at the extreme value of the Nehari manifold method. Proceedings of the American Mathematical Society 146, no. 7, 2925–2935.
• Ilyasov, Y. (2017). On extreme values of Nehari manifold method via nonlinear Rayleigh's quotient. Topological Methods in Nonlinear Analysis 49, no. 2, 683–714.
• Il'yasov, Y. and Egorov, Y. (2010). Hopf boundary maximum principle violation for semilinear elliptic equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 72, no. 7–8, 3346–3355.
• Cherfils, L. and Ilyasov, Y. (2005). On the stationary solutions of generalized reaction–diffusion equations with \(p\)- and \(q\)-Laplacian. Communications on Pure and Applied Analysis 4, no. 1, 9–22. DOI: 10.3934/cpaa.2005.4.9 . Более 500 цитирований по данным AIMS/CPAA.