Семинары

Аннотация Ижбердеева Елизавета Монировна (Челябинский государственный университет) Исследование эволюционных уравнений с производной Джрбашяна – Нерсесяна Науч. рук-ль М.В. Плеханова (Челябинский государственный университет) В работе исследуются вопросы разрешимости начальных задач для линейных и квазилинейных уравнений с производными Джрбашяна – Нерсесяна в банаховых пространствах и приложениям к уравнениям и системам уравнений в частных производных. В частности, рассмотрена начальная задача Джрбашяна – Нерсесяна для разрешенных относительно дробной производной линейных уравнений с ограниченным оператором при искомой функции. Получена теорема о ее однозначной разрешимости и решение представлено через функции Миттаг-Леффлера. Существование единственного решения начальной задачи для разрешенного относительно старшей производной квазилинейного уравнения доказано методом сжимающих отображений в специальном функциональном пространстве. Здесь же показано, что любая конечная композиция производных Римана – Лиувилля и Герасимова – Капуто может быть задана одной производной Джрбашяна – Нерсесяна. Далее рассмотрены линейные и квазилинейные уравнения с вырожденным оператором при старшей производной Джрбашяна – Нерсесяна при условии относительной ограниченности пары операторов в линейной части уравнения. Задача типа Шоуолтера – Сидорова для уравнения исследуется путем редукции к системе, состоящей из задачи Джрбашяна – Нерсесяна для разрешенного относительно производной уравнения и уравнения с нильпотентным оператором при производной без начальных условий. Кроме того, исследованы вопросы однозначной разрешимости начальных задач для уравнений в банаховых пространствах с неограниченными линейными операторами и производной Джрбашяна – Нерсесяна. Сформулированы условия секториальности замкнутого оператора, показано, что они необходимы и достаточны для существования аналитического в секторе разрешающего семейства операторов исследуемого линейного однородного уравнения. Решение линейного неоднородного уравнения представлено в терминах разрешающих операторов. Для вырожденных линейных уравнений с парой операторов из определенного здесь класса секториальных пар доказана однозначная разрешимость задачи типа Шоуолтера – Сидорова. Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании начально-краевых задач для уравнений, для системы уравнений Олдройда с производной Джрбашяна – Нерсесяна по времени и др.