Проект "Катастрофы и рождение кинков"

•  О проекте

В математической литературе имется немало результатов, касающихся кинкообразных структур. Здесь можно, указать, например, на структуры, образуемые осциллирующими решениями быстро-медленных систем типа осциллятора Ван дер Поля (А.Н.Дородницын, Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розов), а также на контрастные стуктуры типа ступеньки, которым посвящен большой цикл работ представителей школы А.Б,Васильевой и В.Ф.Бутузова. (Ранее, без описания окрестностей фронтов таких структур они были исследованы П.Файфом и У.Гринли). Однако, во-первых, ранее не рассматривался случай более, чем двух независимых переменных, а во-вторых, до сих пор отсутствует математически строгое исследование процессов зарождения таких кинкообразных структур. Работы, предусмотренные проектом, должны частично закрыть эти пробелы. 
Фронты зарождающихся кинкообразных структур планируется описывать с помощью метода согласования асимптотических разложений. Обоснование получившихся разложений будет осуществлено с помощью дифференциальных неравенств. Здесь стоит подчеркнуть, что это обоснование придется осуществлять для решений сингулярно-возмущенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений с независимой переменной, пробегающей всю вещественную ось. До сих пор же обоснование асимптотик в подобных случаях проводилось лишь для конечных областей изменения независимых переменных. Для анализа зарождения четырехмерных кинкообразных структур будут использованы выводы теории катастроф о типичности катастрофы бабочки. Этот подход к анализу кинкообразных структур позволяет выявить специфику многомерного случая, до сих пор не нигде не отмечавшуюся. 

• Постановки задач
  • Описать и строго обосновать полные асимптотики при $x^2+t^2\to\infty$ специальных решений обыкновенных дифференциальных уранений $u_x=u^3-tu+x$ и $u_{xx}=u^3-tu+x$, которые в главном порядке по $\epsilon$ для решений уравнений в частных производных с малым параметром $L(\epsilon Y,u,D_Y u, D^2_{YY)u)=0,$ описывают процессы зарождения кинкообразных структур в окрестностях точек сборки решений уравнения $L(\epsilon Y,u,0,0)=0$.
  • Описать поведение при больших значениях $x,y,z,t$ специальных решений обыкновенных дифференциальных уравнений $u_x=u^5-tu^3+yu^2+zu+x$ и $u_{xx}=u^5-tu^3+yu^2+zu+x$. Эти специальные решения описывают зарождение кинкообразных структур в окрестностях сингулярностей типа бабочки.
• Полученные результаты

Поставленные задачи начали исследоваться в 2003 году.
Результаты 2003 года:
1. В работах [1,2] показано, что специальные решения уравнений $u_x=u^3-tu+x$ и $u_{xx}=u^3-tu+x$ описывают процессы зарождения кинкоообразных cтруктур для широкого ряда решений сингулярно возмущенных уравнений в частных производных. 
2. В [2] доказаны строгие математические результаты, касающиеся полных асимптотических разложений этих специальных решений при $x\to \pm \infty$ при фиксированных $t$. Можно надеяться, что опираясь на этот результат, удастся решить и задачу описания их равномерных асимптотик при $x^2+t^2 \to \infty$ с любой степенью точности. Из изложенные в [1,2] cоображения дают основание полагать, что специальные решения обыкновенных уравнений $u_{x}=u^5-tu^3+zu^2+yu^+x$ и $u_{xx}=u^5-tu^3+zu^2+yu^+x$ при достаточно больших значениях $t$ примут кинкообразный вид. И дают надежду на получение аналитического описания асимптотик данных специальных решений при больших значениях $x,t,z и y$. 

• Публикации
  • Б.И.Сулейманов, Катастрофа сборки в медленно меняющихся положениях равновесия, ЖЭТФ. 2002, T.122, вып.5. С.1093-110. 
  • А.М.Ильин, Б.И.Сулейманов, О двух специальных функциях, связанных с особенностью сборки, Доклады РАН, 2002, T.387, №2, С. 156-158-382.