В работе исследуются вопросы существования и единственности решения начальных задач для линейных и квазилинейных уравнений с дробными производными в банаховых пространствах, с приложениями к начально-краевым задачам для уравнений и систем уравнений в частных производных. В частности, рассмотрена задача Коши для разрешенных относительно старшей производной линейных уравнений с ограниченными операторами при производных Герасимова - Капуто, получена теорема о ее однозначной разрешимости и представление решение в терминах интегралов типа Данфорда - Тейлора. Это позволило исследовать соответствующие квазилинейные уравнения, а также задачи типа Шоуолтера - Сидорова для линейных и квазилинейных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной при условии спектральной ограниченности пары операторов при двух старших производных. Для исследования задачи Коши для уравнений с несколькими дробными производными (multi-term fractional equations) и линейными замкнутыми операторами при них введено в рассмотрение понятие разрешающего семейства уравнения и предложены условия секториальности набора операторов, доказана их необходимость и достаточность для существования разрешающих семейств уравнения. Формула представления решения линейного неоднородного уравнения позволила исследовать задачу Коши для соответствующих квазилинейных уравнений, в которых нелинейный оператор зависит от нескольких младших производных Герасимова - Капуто. Вырожденные линейные и квазилинейные уравнения исследованы при условии секториальности пары операторов при старших производных. Абстрактные результаты использованы для исследования начально-краевых задач для уравнений с многочленами от эллиптического оператора, для систем уравнений моделирующих динамику и термоконвекцию вязкоупругой среды, начальных задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.