Проект "Авторезонанс"

  •  О проекте

Под авторезонансом понимается явление значительного роста со временем энергии вынужденных колебаний нелинейной системы при том, что вынуждающая сила остается малой. Впервые это явление было открыто независимо друг от друга Векслером и МакМилланом (1944). Ими было предложени использовать авторезонанс для разгона элементарных частиц в ускорителях до релятивистских скоростей. Математические модели этого явления, даже в простейших постановках, до сих пор остаются слабо исследованными. Известные результаты опираются либо на численные эксперименты, либо на примитивный анализ, выполненный на физическом уровне строгости. Нелинейный характер системы, проявляющийся, в частности, в зависимости периода колебаний от энергии, ведет к значительным трудностям при аналитических исследованиях. Цель исследований - асимптотический анализ модели авторезонанса, который опирается на наличие естественного малого параметра, каким является амплитуда вынуждающих колебаний.
В формальной постановке в простейшем случае задача сводится к двумерной гамильтоновой системе нелинейных уравнений, для которой исследуются вынужденные колебания вблизи устойчивого положения равновесия. Заданная вынуждающая сила представляет собой быстро осциллирующие колебания с малой амплитудой и медленно меняющейся частотой. Выясняются условия, при которых траектория системы под влиянием такого возмущения уходит от начальной точки равновесия на расстояние порядка единицы. Основные математические результаты связаны с исследованием асимптотики решения уравнений главного резонанса. Эти уравнения описывают в первом приближении процесс нарастания амплитуды вынужденных колебаний. 

  • Постановки задач

Главной целью является поиск растущих решений, которые описывают начальный этап авторезонанса в связанных осцилляторах.
Цели исследований в 2004 году:

1. Выяснить роль начальных данных при возникновении явления автофазировки и авторезонанса.
2. В асимптотическом приближении решить задачу о связи констант асимптотики на разных бесконечностях для решения уравнения главного резонанса с целью - получить критерий для возникновения авторезонанса.
3. Исследовать эффекты нелинейного резонанса в системе трех слабосвязанных нелинейных осцилляторов. С этой целью построить асимптотику на бесконечности для решения системы главного резонанса с тремя степенями свободы.

Список задач

  • Полученные результаты

Поставленные задачи начали исследоваться в 2002 году.
Результаты 2003 года:

1. Выполнено построение главных членов асимптотики в задаче о прохождении через нелинейный резонанс для гамильтоновой системы с одной степенью свободы вблизи устойчивого положения равновесия.
2. Выявлены условия возникновения авторезонанса в такой системе. Эти условия в точной формулировке опираются на результаты по исследованию асимптотики системы уравнений главного резонанса. В частности, найден широкий класс растущих решений, которые как раз и описывают начальный этап авторезонанса.
3. Выявлены условия возникновения авторезонанса на субгармониках, и найдены соответствующие временные масштабы. Обнаружена невозможность авторезонанса на субгармониках высокого порядка.

  • Публикации
    • Калякин Л.А. Асимптотическое решение задачи о пороговом эффекте для уравнений главного резонанса. Дифференц. уравнения. Т. 40, № 6. 2004. С. 731-739.
    • Калякин Л.А. Авторезонанс в динамической системе. Современная математика и ее приложения. Т.5, Асимптотические методы функционального анализа, Академия наук Грузии, Институт кибернетики, Тбилиси. Т. 5. 2003. С. 79-108.
    • Калякин Л.А. Асимптотика решений для уравнений главного резонанса. Тезисы конференции И.Г. Петровского. Москва, МГУ. 2004. С. 94.
    • Гарифуллин Р.Н. Построение асимптотических решений в задаче об авторезонансе. ДАН, т.398, №3, 2004. С.306-309
    • Гарифуллин Р.Н. Построение асимптотических решений в задаче об авторезонансе. Тезисы конференции И.Г. Петровского. Москва, МГУ. 2004. С. 69.
    • Калякин Л.А., Багдерина Ю.Ю.Асимптотика ограниченных на бесконечности решений уравнений квадратичного главного резонанса. Математические заметки, (принято в печать).
    • Калякин Л.А., Багдерина Ю.Ю.Асимптотика решения усредненных уравнений для системы связанных осцилляторов. Прикладная и фундаментальная математика, (принято в печать).
    • Калякин Л.А. Анализ математической модели авторезонанса. Лекция на региональной школе-конференции. Уфа, БГУ, 2004.
    • Гарфиуллин Р.Н. Исследование роста решений нелинейного уравнения в зависимости от начальных данных. Сборник трудов <Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике>. БашГУ, Уфа, 2003, с.189-195.
    • Л.А. Калякин, Асимптотики решений уравнений главного резонанса, ТМФ, 2003, т.137, №1, с.142-152
    • Л.А. Калякин, Усреднение в модели авторезонанса, Матем. заметки, 2003, т.73, №1, с.449-452.
    • Л.А. Калякин, Асимптотика решения уравнений главного резонанса на бесконечности, ДАН, 2003, т.388, №3, с.305-308
    • L.A. Kalyakin, Justification of Asymptotic Expansions for the Principal Resonance Equation, Proc. of the Steklov Inst. of Math., 2003, v.1, S108-S122.
    • R.N. Garifullin, Asymptotic analysis of subharmonic autoresonance model, Proc. of the Steklov Inst. of Math., 2003, v.1, S75-S83.
    • L.A. Kalyakin, Asymptotic Analysis of an autoresonance model. Russain J. of Math. Phys., 2002, v.9, n2, 84-95.
    • Л.А. Калякин, Асимптотический анализ модели авторезонанса. ДАН, 2001, т.378, №5, с.594-597