Сепаратрисы и хаос в решениях обыкновенных дифференциальных уравнений

• О проекте

Исследования асимптотик по малому параметру решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка вблизи сепаратрисы составляют важное направление современной теории дифференциальных уравнений. Задачи такого типа многие годы находятся в центре внимания специалистов в теории динамических систем. В этой связи следует упомянуть, например, явление захвата в задаче трех тел (О.Ю. Шмидт, О возможности захвата в небесной механике, ДАН СССР, 1947, т.58, №2, с.213-216). Среди математических работ упомянем (В.К. Мельников, "Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях", Труды Московского математического общества, 1963, т.12, с. 3-52; В.М. Алексеев, "Квазислучайные динамические системы I,II,III", Математический сборник, т.76, №1(1968), с.72-134, т.77, №4(1968), с.545-601, т.78, №1(1969), с.3-50; A.I.Neishtadt, V.V. Sidorenko, D.V. Treschev "Stable periodic motions in the problem of passage through a separatrix", Chaos, 1997, v.7, №1, pp.2-11.)

Цель исследований - изучение асимптотических решений возмущенных нелинейных уравнений в окрестности областей, в которых существенно изменяется поведение решений. В конечном итоге предполагается развить асимптотическую теорию для решений, проходящих через сепаратрисы невозмущенных уравнений. Здесь возникают существенные трудности для аналитического, так и для численного исследования. Главная причина затруднений - неустойчивость решений вблизи сепаратрисы.

В широко известных работах при исследовании переходов через сепаратрису ограничивались вычислением изменения адиабатического инварианта (Мельников В.К., "Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях", Труды Московского математического общества, 1963, т.12, с. 3-52; А.В. Тимофеев, "К вопросу о постоянстве адиабатического инварианта при изменении характера движения", ЖЭТФ, 1978, т.75, с.1303-1308. Нейштадт А.И., "Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису", Физика плазмы, 1986, т.12, с.992-1001. J.R. Cary, D.F. Escande, J. Tennyson. "Adiabatic invariant change due to separatrix crossing", Phys. Rev.A, 34(1986), pp.4256-4275). Это наиболее важная величина, используемая при описании решений в областях регулярного поведения.

Изучение изменения фазовой переменной, с одной стороны, менее эффектно, так как основные характеристики решения определяет переменная типа действие. С другой стороны, связано с более тонкими вычислениями. Однако, знание фазовой переменной позволяет изучить сложную структуру окрестности перестройки и дать полное описание асимптотического решения. Работы в данном направлении стали появляться в последнее время (Diminnie D. C. and Haberman R., "Slow passage through a saddle-Center Bifurcation", J. Nonlinear Sci., 2000, v.10, p.197; О.M.Kiselev, "Hard Loss of Stability in Painleve-2 Equation", Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 2001, v.8, n1, p.65-95; O.M. Kiselev and S.G. Glebov. "An asymptotic solution slowly crossing the separatrix near a saddle-centre bifurcation point", Nonlinearity, 2003, v.16, pp.327-362)

• Постановки задач

Основной ожидаемый результат - асимптотические формулы для решения возмущенного нелинейного уравнения второго порядка, пригодные для описания решения вблизи сепаратрисы на больших временах. На пути к этому основному результату есть несколько задач, которые формулируются отдельно и представляют самостоятельный интерес. Модельное уравнение, используемое в наших исследованиях - так называемое уравнение главного резонанса. Это уравнение играет исключительно важную роль при изучении резонансных явлений в нелинейных динамических системах. Видимо впервые оно было написано в классической работе Крылова и Боголюбова (1936) в специальной форме при исследовании резонанса в решении с малой амплитудой для нелинейного уравнения с кубической нелинейностью. Другая форма этого уравнения возникает при исследовании перехода через резонанс в задачах небесной механики. В общем виде уравнение появляется при изучении захвата частицы в резонанс в синхрофазатроне.

[ Вверх ]

• Полученные результаты

В отделе дифференциальных уравнений исследования в этом направлении начаты в 1998 году.

В 2003 году были продолжены исследования решений, проходящих через сепаратрисы. Получены предварительные результаты в некоторых областях. Для публикации требуются дополнительные исследования.

Результаты 2002 года:

Исследован режим перехода через сепаратрису в уравнении главного резонанса с медленно меняющимся параметром. Построено асимптотическое решение до, после и в окрестности точки перехода через сепаратрису. Результаты опубликованы в работах:

O.M. Kiselev and S.G. Glebov, An asymptotic solution slowly crossing the separatrix near a saddle-centre bifurcation point, Nonlinearity, 2003, v.16, pp.327-362.

S.G. Glebov, O.M.Kiselev, Applicability of the WKB method in the perturbation problem for the equation of Principal resonance, Russian J. of Math. Phys., v.9, n1, 2002, pp.60-83.

Жесткая потеря устойчивости в уравнении главного резонанса.

Результат 2001 года:

Построено формальное аситмтпотическое решение уравнения Пенлеве-2, равномерно пригодное до внутри и после перехода через сепаратрисы. Это решение описывает жесткую потерю устойчивости. Результат опубликованы в работе:

O.M.Kiselev. Hard Loss of Stability in Painleve-2 Equation, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 2001, v.8, n1, p.65-95.

Жесткая потеря устойчивости в уравнении Пенлеве-2. I-решение медленно меняется; II-зона потери устойчивости - в главном решение определяется уравнением Пенлеве-1; III-решение близко к сепаратрисному; IV-зона быстрых осцилляций, решение близко к эллиптической функции.

Результаты 2000 года:

Получены предварительные результаты о формальных асимтпотиках для жесткого режима возбуждения колебаний в уравнении главного резонанса:

С.Г.Глебов, О.М.Киселев. Асимптотика жесткого режима возбуждения собственных колебаний. I., В кн. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Дифференциальные уравнения. Часть I. Уфа, 2000, стр.49-52.

О.М.Киселев, С.Г.Глебов. Асимптотика жесткого режима возбуждения собственных колебаний. II, В кн. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Дифференциальные уравнения. Часть I. Уфа, 2000, стр.95-97.

Результат 1999 года:

Исследован переход через сепаратрису в специальном решении уравнения Пенлеве-2.

O.M.Kiselev. Asymptotic approach for the rigid condition of appearance of the oscillations in the solution of the Painleve-2 equation, PBB solv-int # 9902007.

[ Вверх ]

Публикации

• O.M. Kiselev and S.G. Glebov, An asymptotic solution slowly crossing the separatrix near a saddle-centre bifurcation point. Nonlinearity, 2003, v.16, pp.327-362.
• S.G. Glebov, O.M.Kiselev. Applicability of the WKB method in the perturbation problem for the equation of Principal resonance. Russian J. of Math. Phys., v.9, n1, 2002, pp.60-83
• O.M.Kiselev. Hard Loss of Stability in Painleve-2 Equation. Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 2001, v.8, n1, p.65-95.
• С.Г.Глебов, О.М.Киселев. Асимптотика жесткого режима возбуждения собственных колебаний. I. В кн. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Дифференциальные уравнения. Часть I. Уфа, 2000, стр.49-52.
• О.М.Киселев, С.Г.Глебов. Асимптотика жесткого режима возбуждения собственных колебаний. II, В кн. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Дифференциальные уравнения. Часть I. Уфа, 2000, стр.95-97.
• O.M.Kiselev. Asymptotic approach for the rigid condition of appearance of the oscillations in the solution of the Painleve-2 equation. PBB solv-int # 9902007.

[ Вверх ]