(2+1)-мерные нелинейные интегрируемые уравнения: асимптотика и возмущения

Перепишем обратную задачу для функций A и B. В результате получим систему уравнений

Структура формального асимптотического решения задачи (34) определяется фазой S осциллирующей экспоненты в правой части (34). Асимптотическое по t при t®Ґ решение (34) имеет составной характер. Вне некоторой окрестности стационарной точки фазы S формальное асимптотическое решение строится по обратным степеням t (внешнее разложение).

В малой при t®Ґ окрестности стационарной точки построено так называемое внутреннее разложение. Здесь в качестве калибровочной последовательности используется t^n/2,    n = 1,2,....

Существует некоторая область в окрестности стационарной точки, где пригодны оба асимптотических разложения, как внутреннее, так и внешнее. Это общий факт в методе согласования асимптотических разложений. Здесь он используется для однозначного определения коэффициентов разложения.

В этом разделе доказано утверждение:

Теорема 2 Пусть b(k) - гладкая по k,  [`k]  и такая, что b(k) и все ее производные по k  и [`k] до второго порядка гладкие интегрируемые в R² функции. Тогда формальное асимптотическое по mod(o(t^-1)) решение задачи (34) при t®Ґ имеет составной характер. При |k-[(ix)/4]| і Ct^-1/2+g, для "g  > 0, где x = z/t:

Доказательство теоремы 3 состоит из двух частей - построения, так называемого внешнего формального асимптотического по t при t®Ґ решения (33) в области вне малой при t®Ґ окрестности точки k = ix/4 и построения внутреннего разложения (34) в окрестности точки k = ix/4.

Решение задачи (34) будем искать в виде:

Подставим (36), (37) в (34), приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t^-1. В результате получим:

Не определенное здесь решение однородного уравнения для B - аналитическая функция от [`k] - получено ниже, после анализа асимптотического разложения в окрестности точки k = [(ix)/4].

Уравнение для A определяется неосциллирующими членами уравнения (38). С помощью формулы Коши-Грина получим:

Поправка A определяется осциллирующими членами (38):

В этой формуле присутствует B₀, поэтому A может быть построена после анализа асимптотики в окрестности k = [(ix)/4].

Установим область, в которой пригодно асимптотическое разложение (36), (37). В этой области для слагаемых в формуле (37) выполняется условие:

Из формулы (42) легко видеть, что функция B₁ в точке k = ix/4 имеет полюс первого порядка по k. Решение уравнения (41) - функция B - в точке k = ix/4 имеет полюс третьего порядка по k. Поэтому асимптотическое разложение (35) пригодно при |k-[(ix)/4]| і C t^-1/2+g, для "g > 0.

Построим внутреннее разложение - справедливое в малой окрестности точки k = [(ix)/4].

Перейдем к растянутым координатам:

Формальное асимптотическое решение системы (44) будем искать в виде:

Подставим (45) в (44). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t, в результате получим уравнения для a, b:

Область |l| Ј const t^1/2-d, "d > 0, где справедливо внутреннее разложение, при d < 1/2 пересекается с областью |k-[(ix)/4]| і t^-1/2+gconst  при g < 1/2, в которой пригодно внешнее разложение. Следуя методу согласования асимптотических разложений, асимптотики при |l|®Ґ для (46), (47) можно получить из согласования внутреннего и внешнего асимптотических разложений в области, где пригодны оба разложения.

Асимптотика B₁ при k®[(ix)/4]:

Вычислим асимптотику A  при k®[(ix)/4].

Из требования согласования асимптотических разложений (35) и (36) и формул (48), (49) получаются краевые условия:

Решение первого из уравнений (46) совместно с краевым условием из (50) имеет вид:

Ограниченное решение уравнения (46) с краевым условием из (50) получается с помощью формулы Коши-Грина:

Асимптотика b при |l|®Ґ имеет вид:

Уравнения (47) с краевыми условиями (51) решаются с помощью формулы Коши-Грина:

Теорема 3 об асимптотике решения задачи (34) доказана.

3.0.1   Оценка остатка асимптотики

Можно доказать, что формулы (35), (36) определяют асимптотику решения задачи (34). Для этого рассматривается система интегральных уравнений, соответствующая краевой задаче (34). При ограничении (30) на функцию b(k) интегральный оператор в этой системе оказывается сжимающим. С помощью формул (35), (36) строится составное асимптотическое разложение (35). Малость остатка асимптотики следует из свойства интегрального оператора и малости невязки, которая получается при подстановке составного разложения в систему интегральных уравнений.

Справедливо утверждение:

Теорема 3 Пусть b(k) - гладкая функция такая, что все ее производные по k и [`k] до второго порядка - гладкие интегрируемые в R², и выполнено условие:

3.0.2   Асимптотика решения ДС-2

Подставим асимптотику решения [`D]-задачи в формулу формулу для решения ДС-2.

Представим интеграл (57) в виде суммы интегралов.

3.1   Решение уравнений Ишимори-1

Для уравнений Ишимори-1 (в (3) a² = 1) метод обратной задачи рассеяния изложен, например, в работе Конопельченко и Маткаримова. Здесь воспользуемся формулой, связывающей решения уравнений Ишимори и решения вспомогательной линейной задачи (4) для уравнений ДС-2.

Обозначим [S\tilde] = [S\vec][(s)\vec], где [(s)\vec] = (s₁,s₂,s₃), а s_1,2,3 - матрицы Паули. Тогда

Асимптотика решения уравнений Ишимори-1 при t®Ґ с краевым условием [S\tilde]|_|z|®Ґ = s₃ может быть получена из формулы (58). После подстановки асимптотики решения краевой задачи (4), построенной в предыдущем разделе, получим:

4   Асимптотика уравнения КП-2

Уравнение КП-2 связано с [`D]-задачей:

Решение уравнения КП-2 ( Ablowitz, Bar Yaakov, Fokas):

Исследование решения [`D]-задачи для уравнения КП-2 при t®Ґ более сложно, чем проведенное выше для уравнения ДС-2. Это связано, во-первых, - с тем, что [`D]-задача для класса гладких и достаточно быстро убывающих по (x,y) начальных условий связана с разрывной на мнимой оси функцией b(k). Во-вторых, - структура быстро осциллирующей фазы S в коэффициентах эллиптической системы для f,y более сложная. Наряду с простыми, она содержит и вырожденную стационарную точку.

Теорема 4 Пусть (1+|k|)b(k) О L₁ЗC, ¶^ab О L₁ЗC при В(k) № 0, |a| Ј 2 и выполнено условие

5   Возмущение солитона уравнений ДС-1

Солитонное решение уравнения было найдено в 1988 году Boiti, Leon, Martina и Pempinelli. Это решение осциллирует по времени и экспоненциально убывает в пространственных направлениях.

g1|x®-Ґ є l2 2cosh2(lh) ,   g2|h®-Ґ є m2 2cosh2(mx) ,

где l, m положительные постоянные, определяющиеся из граничных условий при h®-Ґ и x®-Ґ; r - произвольный комлексный параметр.

Построим асимптотическое решение возмущенного уравнения ДС-1:

i¶t Q+ 1 2 (¶x2+¶h2)Q+(G1+G2)Q = eiF, ¶x G1 = - s 2 ¶h |Q|2,    ¶hG2 = - s 2 ¶x |Q|2. (62)

Здесь e - малый параметр, s = ±1 соответствует так называемым фокусирующему и дефокусирующему уравнению ДС-1.

Возмущение может появиться, например, если, в основном следуя Davey, Stewartson и Djorjevic, Redekopp, рассмотреть поверхностные волны над неровным дном. В этом случае возмущение будет иметь вид: F є AQ. Здесь A - вещественная постоянная, ее знак соответствует уменьшению или увеличению глубины в направлении x.

Будем искать асимптотическое решение в виде:

Q(x,h,t,e) = q(x,h,t;t)+eU(x,h,t,t), G1(x,h,t,e) = g1(x,h,t,t)+eV1(x,h,t,t), G2(x,h,t,e) = g2(x,h,t,t)+eV2(x,h,t,t), (63)

Для построения решения понадобится решать линеаризованное на солитоне уравнение ДС-1:

i¶t U+(¶x2+¶h2)U+(g1+g2)U+(V1+V2)q = iF ¶x V1 = - s 2 ¶h(q _ U   + _ q   U),   ¶hV2 = -s 2 ¶x(q _ U   + _ q   U).

(64)

Для построения базисного набора решений линеаризованного уравнения понадобятся некоторые сведения из метода обратной задачи для ДС-1. С уравнением ДС-1 связана двумерная гиперболическая система Дирака (см.Нижник, Fokas и Ablowitz, Fokas и Santini):

ж з и ¶x 0 0 ¶h ц ч ш y = - 1 2 ж з и 0 q s _ q   0 ц ч ш y.

(65)

Обозначим через y⁺ и y^- матричные решения задачи Гурса (следуяFokas и Santini):

y+11|x®-Ґ = exp(ikh), y+12|x®-Ґ = 0, y+21|h®Ґ = 0, y+22|h®-Ґ = exp(-ikx); y-11|x®-Ґ = exp(ikh), y-12|x®Ґ = 0, y-21|h®-Ґ = 0, y-22|h®-Ґ = exp(-ikx).

(66)

Пусть y⁺_(j), j = 1,2, - столбцы матрицы y⁺. Введем две билинейные формы - аналоги прямого и обратного преобразований Фурье:

(c,m)f = у х Ґ -Ґ  у х Ґ -Ґ  dxdh(c1m1 s _ f    + c2m2 f);

(67)

здесь c_i и m_i - элементы столбцов c и m.

бcmсs = у х R2  dk dl (c1(l)m1(k)s _ s   (k,l)+c2(l)m2(k) s(k,l)),

(68)

где c^j - элемент строки c.

Обозначим f^(j), j = 1,2, строку сопряженную y^(j) = [y^-_j1,y⁺_j2] относительно второй билинейной формы.

Теорема 5 [О разложении] Пусть Q такая, что¶^aQ О L₁ЗC¹ для |a| Ј 3, если функция f такая, что ¶^af(x,h) О L₁ЗC¹ для |a| Ј 4, тогда она может быть представлена в виде:

f = -1 p бy(1)(x,h,l),f(1)(x,h,k)с[^f],

где

^ f   = 1 4p (y+(1)(x,h,k),f(1)(x,h,l))f.

Теорема 6 [Эволюция коэффициентов] Пусть U - решение первого из линеаризованных уравнений ДС-1 - функция гладкая и интегрируемая по x и h, ¶^aU О L₁ЗC¹ и ¶^aF О L₁ЗC¹, для |a| Ј 4 и t О [0,T₀]. Тогда

¶t ^ U   = i(k2+l2) ^ U   + у х Ґ -Ґ  dkў ^ U   (k-kў,l,t)c(kў)+ у х Ґ -Ґ  dlў ^ U   (k,l-lў,t)k(lў)+ ^ F   . (69)

Обозначим g(t) = 1-s[(ml)/4]|r(t)|² и g₀ = g(0). Конечную формулу для асимптотического решения возмущенного уравнения ДС-1 дает

Теорема 7 [О модуляции параметра] Если

g(t) = g0exp(2At),    Arg(r(t)) є const,

где g₀ > 1 при s = -1 и 0 < g₀ < 1 при s = 1, тогда асимптотическое решение (63) по mod(O(e²)) равномерно пригодно при t = O(e^-1).

Следствие 2 [О больших временах] Если переменная t больше, чем e^-1, а именно, t << e^-1log(log(e^-1)), тогда формулы (63) дают асимптотическое решение для (62) по mod(o(1)).

Предположение 1 [О сингулярности] Приведенные выше формулы пригодны для решений (61) без особенностей. Если s = 1, тогда [(ml)/4]|r(t)|² < 1. Если в возмущении A > 0, тогда |r| возрастает и может появиться особенность в главном члене решения при t®Ґ. Вообще говоря, появление особенности в решении неинтегрируемого уравнения ДС - известное явление (см., например, Papanicolaou, C.Sulem, P.L.Sulem and Wang (1994)).

Список литературы

Гадыльшин Р.Р., Киселев О.М.. О бессолитонной структуре возмущенного солитонного решения уравнения Деви-Стюартсона. ТМФ, 1996, т.106, n2, с.167-173.

Киселев О.М.. Асимтпотика бессолитонного решения уравнения Деви-Стюартсона II. Дифференциальные уравнения, 1997, т.33, n6, c.812-819.

Gadyl'shin R.R., Kiselev O.M.. Asymptotics of perturbed soliton solution for the Davey-Stewartson II equation. http://xxx.lanl.gov/solv-int/9801014

Kiselev O.M.. Perturbation theory for the Dirac equation in two-dimensional space. J.Math.Phys., 1998, v.39, p.2333-2345.

Киселев О.М.. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Деви-Стюартсона I.Теор.Матем.Физ., 1998, т.114, n1, с.104-114.

Киселев О.М.. Базисные функции, связанные с двумерной системой Дирака. Функц. анализ и его приложения,1998, т.32, n1, с.56-59.

Гадыльшин Р.Р., Киселев О.М.. Структурная неустойчивость солитонауравнения Деви-Стюартсона II. ТМФ, 1999, т.118, n3, с.354-361. с.812-819.

Киселев О.М.. Асимптотика решения двумерной системы Дирака с быстро осциллирующими коэффициентами. Матем. сборник, 1999, т190, n2, с.71-92.

Kiselev O.M.. Dromion Perturbation for the Davey-Stewartson-1 Equations. Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 2000, v.7, n4, p.411-422.

Kiselev O.M.. Asymptotic behaviour of a solution for the Kadomtsev-Petviashvili-2 equation. http://xxx.lanl.gov/math-ph/0003014

---

File translated from T_EX by T_TH, version 1.57.